... zum langsamen Mitdenken

Der Gewinn ist als Differenz von Umsatz und Kosten definiert:

$$ G = U - C \tag{1} $$ $$ \text{Beispiel: 100 = 300 - 200} $$

Er könnte sich also z.B. verändern, wenn sich der Umsatz veränderte. Für die Veränderung des Gewinns vereinbaren wir die Schreibweise $\text{d}G$. Analog schreiben wir $\text{d}U$ für die Veränderung des Umsatzes.

$$ \text{d}G = \text{d}U \tag{2} $$

Natürlich könnte sich der Gewinn aber auch ändern, wenn sich die Kosten verändern. Wieder verwenden wir das Symbol $\text{d}$ für die Veränderung der Größe:

$$ \text{d}G = -\text{d}C \tag{3} $$

Gleichungen (2) und (3) zeigen aber jeweils nur die halbe Wahrheit, denn Umsatz und Kosten können sich natürlich auch zugleich ändern. Das wäre zB. der Fall, wenn das Unternehmen seine Produktion erhöht. Dadurch würden die Umsätze und die Kosten steigen.

$$ \text{d}G = \text{d}U - \text{d}C \tag{4} $$ $$ \text{Beispiel: +10 = +30 - (+20)} $$ sodass nun gilt $$ G = U - C : 110 = 330 - 220 $$

Mal angenommen, wir hätten beobachtet, dass die Ursache für die Gewinnsteigerung um 10 Geldeinheiten ($\text{d}G=10$) eine Erhöhung der Produktion um 2 Stück ($\text{d}x=2$) war.

$$ \cfrac{\text{d}G}{\text{d}x} = \cfrac{\text{d}U}{\text{d}x} - \cfrac{\text{d}C}{\text{d}x} \space \space \space \space \space \space \left[\cfrac{10}{2} = \cfrac{30}{2} - \cfrac{20}{2} \right] \tag{5} $$ $$ \text{Beispiel: 5 = 15 - (+10)} $$

Dann zeigt uns $\cfrac{\text{d}G}{\text{d}x}$ die Zunahme des Gewinns pro zusätzlich abgesetzter Einheit. Dieser sogenannte Grenzgewinn wäre in unserem Zahlenbeispiel 5. Solange dieser Wert positiv ist, lohnt es sich ganz offensichtlich für das Unternehmen, die Produktion um ein weiteres Stück auszudehnen.

Mit jedem weiteren Stück, das es verkauft, erlöst es den Preis, den es annahmegemäß nicht beeinflussen kann. Anstelle von (5) können wir also etwas einfacher schreiben

$$ \cfrac{\text{d}G}{\text{d}x} = p - \cfrac{\text{d}C}{\text{d}x} \tag{6} $$ $$ \text{Beispiel: 5 = 15 - (+10)} $$

und wissen daher, dass sich eine Produktionssteigerung immer dann lohnt, wenn

$$ p > \cfrac{\text{d}C}{\text{d}x} \tag{7} $$ $$ \text{Beispiel: 15 > 10} $$

der Preis über den Grenzkosten liegt.

Wenn jede weitere Einheit - egal wieviel gerade produziert wird - die Kosten immer um einen konstanten Betrag steigen lassen würde, würde die Produktion ausgedehnt, bis das Unternehmen an seine Kapazitätsgrenze stieße. Das würde auch gelten, wenn die nächste Einheit immer günstiger hergestellt werden könnte. Eine Bremse in der Hinsicht, daß sich eine weitere Ausdehnung der Produktion nicht mehr lohnt, greift nur dann, wenn die positive Differenz zwischen Preis und Grenzkosten kleiner wird und schließlich verschwindet. Das kann nur eintreten, wenn die Grenzkosten zunehmen (und wäre der Fall bei abnehmenden Skalenerträgen.

Umgekehrt würde sich natürlich eine Reduktion der Produktion bezahlt machen, wenn

$$ p < \cfrac{\text{d}C}{\text{d}x} \tag{8} $$

Und wenn man dann (7) und (8) zusammen betrachtet und feststellt, dass sich in einem Fall eine Ausdehnung und im anderen Fall eine Verminderung der Produktion lohnt, dann muss gelten, dass ein Gewinnmaximum erreicht ist, wenn

$$ p = \cfrac{\text{d}C}{\text{d}x} \tag{8} $$

gilt: die Preis-Grenzkosten-Regel.